共点力的平衡

《共点力的平衡》教案

一、教学目标

1. 物理观念：理解共点力和共点力平衡的概念，知道共点力作用下物体平衡的条件（合力为零）。

2. 科学思维：会用共点力平衡条件解决有关力的平衡问题；掌握合成法、正交分解法、力的三角形法（相似三角形法）等处理平衡问题的方法。

3. 科学态度与责任：通过拱券结构、悬挂广告牌、行李箱拉与推等生活实例，体会共点力平衡在生活生产中的应用，培养将实际问题转化为物理模型的意识。

二、教学重点与难点

重点：共点力平衡的条件（F合=0）；正交分解法及其应用；合成法、力的三角形法的应用。

难点：正交分解法坐标轴的选取技巧；相似三角形法求解共点力平衡问题；多力平衡问题的分析。

三、教学过程

（一）导入新课

通过展示儿童滑滑梯、志愿者提水桶等生活图片，引导学生思考：静止的巨石、匀速直线运动的电梯上站立的人为什么能保持平衡？引出共点力平衡的研究课题。结合情境链接：有些旅客斜向上拉着行李箱走，有些旅客斜向下推着行李箱走。请判断拉着行李箱走省力还是推着行李箱走省力，并说明理由。提示：拉着行李箱走省力。拉着行李箱走时，F_N=mg-Fsinα；推着行李箱走时，F_N'=mg+F'sinθ，可知F_N

（二）基础落实——必备知识全过关

1. 共点力的平衡条件

（1）共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。

（2）平衡状态：静止状态或者匀速直线运动状态。

（3）共点力的平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为零。

要点提示：平衡状态是加速度为0的状态。

2. 正交分解法

（1）定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

（2）应用原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）。

（3）共点力平衡条件的正交分解表达式：物体受到多个力作用处于平衡状态时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。x轴上的合力F_x=F₁ₓ+F₂ₓ+F₃ₓ+…=0；y轴上的合力F_y=F₁y+F₂y+F₃y+…=0。要点提示：正交分解法中两个分力相互垂直。

3. 教材拓展

阅读教材第76页共点力平衡的条件，思考：一个物体在某一时刻速度为0，那么物体在这一时刻一定处于平衡状态吗？

提示：不一定。例如竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬间速度为0，但此时加速度不为0，因而竖直上抛物体在最高点时不能称为处于平衡状态，即速度为0不等同于受力平衡。

4. 易错辨析

（1）只有静止的物体才受力平衡。（错误）处于静止状态和匀速直线运动状态的物体都受力平衡。

（2）物体受共点力作用处于平衡状态，各力一定作用于物体的同一点。（错误）各力不一定作用于物体的同一点，也可能是作用线相交于一点。

（3）物体受三个共点力作用处于平衡状态，则任意一个力的大小一定等于其他两个力的合力大小。（正确）

（4）用正交分解法解决问题也遵循平行四边形定则。（正确）

（三）重难探究——能力素养全提升

探究点一：共点力作用下物体的平衡条件

1. 导学探究

如果一个物体保持静止或做匀速直线运动，我们就说这个物体是处于平衡状态。静止的巨石、匀速直线运动的电梯上站立的人都是处于平衡状态。那么，保持物体平衡需要什么条件呢？

提示：如果物体受两个力作用而平衡，这两个力一定等大反向且作用在一条直线上，即合力为零。如果物体受多个力而平衡，根据力的合成定则，我们可以把任意两个共点力用一个合力来等效代替，据此，三个以上的共点力最终都可以等效简化为两个共点力。可见，三个以上共点力的平衡，最终也都可以简化为二力平衡。根据二力平衡条件，我们就可以得出在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F_合=0。

2. 知识归纳

物体的平衡：

（1）平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态。

（2）平衡条件：合力为零。

二力平衡：两个力必定等大反向，在同一条直线上。

三力平衡：任意两个力的合力与第三个力等大反向。

N个力平衡：任意一个力与剩余（N-1）个力的合力一定等大反向。

多力平衡：正交分解时，F_x=0，F_y=0。

3. 典例剖析

【例题1】某个物体在F₁、F₂、F₃、F₄四个力的作用下处于静止状态，若撤去F₄，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体受到的合力大小为（C）。

A.F₄/2；B.√3F₄/2；C.F₄；D.√3F₄。

解析：原来物体静止，F₁、F₂、F₃和F₄四个共点力的合力为零，则F₁、F₂、F₃三个力的合力F'与F₄大小相等、方向相反，将F₄撤去，则合力大小等于F₄，方向与F₄方向相反，故C正确。

方法技巧：物体受多个力的作用处于平衡状态，其中一个力与其他力的合力大小相等、方向相反。

对点演练1：拱券结构是古代工匠的一种创举，用六块相同的楔形块构成一个半圆形的拱券结构，每块楔形块的质量均为m，重力加速度为g，则2和3之间的作用力为（B）。

A.mg；B.2mg；C.2√3mg/3；D.4√3mg/3。

解析：以中间3、4楔形块整体为研究对象，其受力如图所示，由对称性可知F₁=F₂，根据平衡有2F₁cos60°=2mg，解得F₁=F₂=2mg，故B正确。

探究点二：处理平衡问题常用的方法

1. 导学探究

如图所示为悬挂式广告挂牌，挂牌的重力为G，两侧绳与竖直方向的夹角都为θ，挂牌保持静止。

（1）挂牌受几个力作用？这些力是共点力吗？

（2）怎样确定两侧绳的拉力大小？说说你的想法。

提示：（1）挂牌受重力、两侧绳的拉力，共三个力作用，这三个力的作用线相交于一点，是共点力；（2）方法一：利用合成法。根据共点力平衡的条件可知，挂牌所受三个共点力的合力为零，即任意两个力的合力与第三个力等大反向，这样就可以利用解三角形的知识，确定绳的拉力大小。方法二：正交分解法。因为挂牌所受三个共点力的合力为零，所以将各力沿两个互相垂直的方向正交分解后，有F_x=0，F_y=0，由方程即可确定绳的拉力大小。

2. 知识归纳

（1）处理静态平衡问题的常用方法：

合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反。

正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件。

力的三角形法：对受三个力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力。

特别提示：正交分解法是根据需要分解，目的是把各力分解到相互垂直的两个方向上去，便于在每条轴上运用代数运算来解决矢量的合成。

（2）解决共点力作用下物体平衡问题的一般思路：选取研究对象（绳子的结点或物体，采用整体法或隔离法）→受力分析（按顺序分析研究对象受到的力，不要多力、少力）→选择合适方法（合成法、正交分解法、三角形法，三个力以上通常选取正交分解法）→应用平衡条件（F_合=0或F_x合=0、F_y合=0，利用方程求解，进行分析讨论）。

3. 典例剖析

角度1：用合成法、正交分解法求解共点力平衡问题

【例题2】一条不可伸长的轻质细绳一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m₁的重物，悬挂点为d，另一端与另一轻质细绳相连于c点，ac=l/2，c点悬挂质量为m₂的重物，平衡时ac正好水平，此时d点正好与ac在同一水平线上且到b点的距离为l，到a点的距离为3l/4，重力加速度为g，则两重物的质量的比值m₁/m₂为（C）。

A.3/2；B.2；C.5/4；D.3/5。

解析：方法一：合成法。因c点处于平衡状态，所以任意两个力的合力均与第三个力大小相等、方向相反，根据平行四边形定则将力F与F_T1合成，则sinθ=m₂g/(m₁g)，而sinθ=l/√(l²+(3l/4)²)=4/5，所以m₁/m₂=5/4，选项C正确。方法二：正交分解法。将倾斜绳的拉力F_T1沿竖直方向和水平方向分解，则m₁gsinθ=m₂g，同样可得m₁/m₂=5/4，选项C正确。

方法技巧：正交分解法坐标轴的选取技巧——（1）原则：尽量少分解力或将容易分解的力分解，并且尽量不要分解未知力。（2）应用正交分解法时，常按以下方法建立坐标轴：①研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴；②研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴；③研究物体在杆（或绳）的作用下转动时，通常沿杆（或绳）方向和垂直杆（或绳）的方向建立坐标轴。

对点演练2：轻杆一端与竖直墙上的铰链连接，另一端固定一小球（视为质点），轻绳一端与墙面连接，另一端与小球连接，稳定时轻绳伸直。已知l_ab:l_bc:l_ca=5:4:3，轻杆的作用力与轻绳的拉力大小之差为F，重力加速度为g，则小球的质量为（C）。

A.F/g；B.3F/g；C.5F/g；D.7F/g。

解析：对小球进行受力分析，由于l_ab:l_bc:l_ca=5:4:3，所以根据三角形知识可得△abc为直角三角形，并且θ=37°，因此可得F_N=mgcos37°=0.8mg，F_T=mgsin37°=0.6mg，根据题意可得F_N-F_T=F，联立以上三式解得m=5F/g，故C正确。

角度2：用相似三角形法求解共点力平衡问题

【例题3】小球甲、乙套在竖直固定的光滑圆环上，圆环竖直顶点C处固定有一大小可忽略的光滑定滑轮，细线绕过定滑轮将两小球连接在一起。两小球静止时，小球甲、乙分别位于圆环上的A、B点，已知BC与竖直方向的夹角为θ，AB过圆环的圆心O点，小球甲、乙的质量分别为m₁、m₂，圆环对小球甲、乙的弹力大小分别为F₁、F₂，细线上的弹力大小为F，重力加速度大小为g，则（C）。

A.m₁:m₂=tanθ:1；B.F=2m₂gcosθ；C.F₁:F₂=1:tanθ；D.F:F₁=sinθ:1。

解析：对小球乙受力分析，该力三角形与△OCB相似，有m₂g/BC=F/BC=F₂/BO，由几何关系可知BO=CO=BC/(2cosθ)，解得F=2m₂gcosθ，F₂=m₂g，故B错误；对小球甲受力分析，该力三角形与△OAC相似，m₁g/CO=F/AC=F₁/AO，由几何关系可知AO=CO=AC/(2sinθ)，解得F=2m₁gsinθ，F₁=m₁g，由此可知m₁:m₂=F/(2gsinθ):F/(2gcosθ)=1:tanθ，F₁:F₂=m₁:m₂=1:tanθ，F:F₁=2sinθ:1，故A、D错误，C正确。

教你析题：光滑圆环，细线绕过定滑轮将两小球连接在一起，两小球静止（两小球受重力、细线的拉力和圆环的弹力处于平衡状态）。

教你破题：获取题干信息→构建物理模型（两小球处于平衡状态）→挖掘隐含条件（两小球的重力方向与CO始终平行，圆环对小球的弹力始终沿圆环的半径方向，细线的拉力始终沿细线的方向）→选择合适的规律方法（两小球的合力均为零，力三角形与由圆环半径、细线等构成的三角形相似）。

（四）学以致用——随堂检测全达标

1.（对平衡状态的理解）下列物体处于平衡状态的是（B）。

A.做自由落体运动的石块；B.悬停在空中的热气球；C.沿光滑斜面下滑的物体；D.紧急刹车过程中的汽车。

解析：做自由落体运动的石块受到重力的作用，受力不平衡，A错误；悬停在空中的热气球，合力为零，处于平衡状态，B正确；沿光滑斜面下滑的物体，受到重力与斜面的支持力，将向下做匀加速直线运动，不是平衡状态，C错误；紧急刹车过程中的汽车做减速运动，合外力不为零，不是平衡状态，D错误。

2.（物体的平衡）在户外亲子活动中，一个充有氮气的气球脱手后，飘上去停在倾斜的天幕下，关于该气球的受力，下列说法正确的是（D）。

A.该气球共受到三个力的作用

B.该气球对天幕的摩擦力沿天幕斜向下

C.该气球和天幕之间可能不存在摩擦力

D.该气球受到天幕的作用力竖直向下

解析：由于竖直向上的浮力大于重力，由共点力平衡的条件可知，该气球一定受到天幕斜向下的摩擦力、垂直天幕向下的弹力，故该气球共受到重力、浮力、弹力和摩擦力四个力的作用，A错误；根据牛顿第三定律可知，该气球对天幕的摩擦力沿天幕斜向上，B、C错误；该气球受力平衡，因浮力和重力合力竖直向上，则该气球受到天幕的作用力（弹力和摩擦力的合力）竖直向下，D正确。

3.（正交分解法的应用）水平地面上的物体在斜向上的拉力F的作用下向右做匀速直线运动，F与水平方向的夹角为θ，物体与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（B）。

A.物体可能只受到三个力的作用

B.物体一定受到四个力的作用

C.物体受到的滑动摩擦力大小为μmg

D.物体对水平地面的压力大小一定为Fsinθ

解析：物体向右做匀速直线运动，则物体受到重力、支持力、拉力与摩擦力四个力的作用，A错误，B正确；对物体受力正交分解有F_f=Fcosθ，Fsinθ+F_N=mg，F_f=μF_N，解得F_f=μ(mg-Fsinθ)，C错误；根据牛顿第三定律有F_N'=F_N，结合上述解得F_N'=mg-Fsinθ，D错误。

4.（用合成法解平衡问题）光滑细圆环固定在竖直平面内，O为其圆心、P为其最高点。轻弹簧a一端固定在P点，另一端与套在环上的质量为m的小球甲相连，轻弹簧b一端连接甲，另一端与套在环上的质量也为m的小球乙连接，系统处于静止状态时，两弹簧长度均与圆环半径相等。则a、b两弹簧对甲的拉力大小之比为（C）。

A.√2:1；B.√3:1；C.2:1；D.1:1。

解析：对甲、乙两球受力分析，由几何关系可知，圆环对甲的支持力F_N以及弹簧a对甲的拉力的方向与竖直方向夹角均为60°，则两力大小相等，即F_a=F_N，且弹簧b在竖直方向，则对甲球2F_acos60°=mg+F_b，对乙球，圆环对小球乙的弹力为零，则F_b=mg，解得F_a:F_b=2:1，故C正确。

四、课堂小结

本节课学习了共点力的平衡。共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F_合=0。处理平衡问题的常用方法有合成法、正交分解法和力的三角形法（包括相似三角形法）。三个力平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大反向；多个力平衡时，任意一个力与剩余力的合力等大反向。正交分解法坐标轴的选取应遵循少分解力和容易分解力的原则，水平面上的物体通常沿水平和竖直方向建轴，斜面上的物体通常沿斜面和垂直斜面方向建轴。解决平衡问题的一般思路是：选取研究对象→受力分析→选择合适方法→应用平衡条件列方程求解。

五、作业布置

1. 完成课后随堂检测相关习题。

2. 整理处理共点力平衡问题的三种方法（合成法、正交分解法、力的三角形法）的适用条件及解题步骤。

3. 完成一道多力平衡问题的正交分解法求解练习，并画出受力分析图。

六、教学反思（供教师使用）

本节是静力学的核心内容，共点力平衡条件F合=0是解决平衡问题的基础。教学中应通过实例帮助学生理解平衡状态和平衡条件，重点训练正交分解法的应用，引导学生根据问题特点选择合适的坐标轴方向。相似三角形法是本节难点，可通过典型例题帮助学生发现力三角形与几何三角形的相似关系。教学中要注重受力分析的规范性，避免漏力或添力，培养学生将实际问题转化为物理模型的能力。

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