匀变速直线运动的位移与时间的关系

《匀变速直线运动的位移与时间的关系》教案

一、教学目标

1. 物理观念：理解匀变速直线运动的位移公式x=v₀t+at²/2的推导方法，理解位移在v-t图像中对应图线与时间轴包围的“面积”；理解速度与位移的关系式v²-v₀²=2ax，会应用公式分析匀变速直线运动问题。

2. 科学思维：通过“无限分割”的极限思想推导匀变速直线运动的位移公式，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法；能根据题目条件灵活选用合适公式解题。

3. 科学态度与责任：通过刹车痕迹分析、舰载机起飞跑道长度等实际问题，体会物理规律在生活生产中的应用，培养理论联系实际的意识。

二、教学重点与难点

重点：匀变速直线运动位移公式x=v₀t+at²/2的推导与理解；速度与位移关系式v²-v₀²=2ax的理解与应用；用v-t图像求位移（面积法）。

难点：用“无限分割”的极限思想推导位移公式；位移公式与速度公式的矢量性处理；“刹车类”问题中刹车时间的判断。

三、教学过程

（一）导入新课

通过展示航空母舰舰载机起飞、客机飞行等图片，引导学生思考：已知舰载机的加速度和起飞速度，如何确定飞机跑道的最小长度？引出匀变速直线运动位移与时间关系的研究课题。结合情境链接：某舰载机在航空母舰上起飞，加速度为a，起飞时速度为v。（1）若航空母舰静止在海上，根据v²=2ax₁，知飞机跑道的最小长度x₁=v²/(2a)；（2）若航空母舰以v₀匀速航行，根据v²-v₀²=2ax₂，知飞机跑道的最小长度x₂=(v²-v₀²)/(2a)。

（二）基础落实——必备知识全过关

1. 匀变速直线运动的位移

（1）位移在v-t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图像中的图线与时间轴包围的“面积”。

（2）位移公式的推导：

①CB斜线下梯形的面积表示位移，面积S=(OC+AB)×OA/2，其中OC表示初速度v₀，AB表示t时刻的速度v，OA表示时间t，代入得位移x=(v₀+v)t/2；

②将速度公式v=v₀+at代入上式，得x=v₀t+at²/2。

（3）特殊形式：

①如果v₀=0，则x=at²/2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系；

②如果a=0，则x=v₀t，表示匀速直线运动的位移与时间的关系。

2. 速度与位移的关系

（1）位移与速度的关系式：v²-v₀²=2ax。

（2）推导过程：由速度公式v=v₀+at和位移公式x=v₀t+at²/2两式消去t，得x=(v²-v₀²)/(2a)，即v²-v₀²=2ax。

3. 教材拓展

阅读教材第45页拓展学习，利用“无限分割”的方法证明：做直线运动的物体的加速度a随时间变化的图像与时间轴所包围的面积表示速度变化量。

提示：若加速度a=a₀不变，则图像与时间轴包围的面积等于a₀t₀，表示速度的变化量。若加速度a随时间变化，把运动过程划分为很多小段，每段可近似认为a不变，每段的小矩形面积表示对应的速度变化量，所有小矩形面积之和表示总的速度变化量；若把运动过程划分为更多小段，每段的小矩形面积之和接近图像与时间轴包围的面积，因此a-t图像与时间轴包围的面积表示速度的变化量。

4. 易错辨析

（1）只有匀变速直线运动的v-t图像与t轴所围的面积等于物体的位移。（错误）对于任何形式的直线运动，其v-t图像与t轴所围的面积都表示物体的位移。

（2）直线运动物体的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关，仅根据初速度和时间不能确定位移的大小。（正确）

（3）在公式v²-v₀²=2ax中，x、v₀、v、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。（正确）一般选初速度的方向为正方向。

（三）重难探究——能力素养全提升

探究点一：用v-t图像求位移

1. 导学探究

物体做匀速直线运动，它的v-t图像是一条平行于时间轴的直线，位移x=vt，在数值上等于其v-t图像与时间轴所围矩形的面积。而匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线，能否以此类推，匀变速直线运动的位移在数值上等于其v-t图像与时间轴所围梯形的面积？

提示：把匀变速直线运动的v-t图像分成几个小段，每段位移大小约等于每段起始时刻的速度大小与每段时间的乘积，该乘积对应矩形的面积，故整个过程的位移大小约等于各个小矩形面积之和。把运动过程分为更多的小段，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移大小。把整个运动过程分得非常细，小矩形合在一起形成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移大小。v-t图线与时间轴所围梯形的面积x=(v₀+v)t/2，又因为v=v₀+at，可得x=v₀t+at²/2。

2. 知识归纳

对于任何形式的直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v-t图线与t轴所包围的面积表示：

（1）当“面积”在t轴上方时，位移取正值，表示物体的位移与规定的正方向相同。

（2）当“面积”在t轴下方时，位移取负值，表示物体的位移与规定的正方向相反。

物体的位移等于上、下“面积”的代数和，即x=S₊-S₋；物体通过的路程等于t轴上、下“面积”绝对值的和，即s=|S₊|+|S₋|。

3. 典例剖析

【例题1】（多选）甲、乙两车在平直公路上行驶，其v-t图像如图所示，对图像解读正确的是（B、D）。

A.甲车在0~4s内的位移大于乙车在4~8s内的位移

B.乙车在前2s内的位移为70m

C.在4~8s内，甲车的平均速度等于30m/s

D.在4~8s内，乙车的平均速度等于10m/s

解析：v-t图像与坐标轴所围面积的大小表示位移大小。由题图可知，甲车在0~4s内的位移小于乙车在4~8s内的位移，A错误；乙车在前2s内的位移x₂=(40+30)×2/2 m=70m，B正确；在4~8s内，甲车按虚线做匀加速直线运动时的平均速度为(20+40)×4/2/4 m/s=30m/s，甲车做变加速运动，其面积大于梯形的面积，平均速度大于30m/s，C错误；在4~8s内，乙车的位移x₄=20×(8-4)/2 m=40m，其平均速度v_z=x₄/t=40/4 m/s=10m/s，D正确。

方法技巧：

（1）匀变速直线运动的v-t图像为倾斜直线，与t轴围成图像的形状为三角形或梯形，根据三角形或梯形的面积公式计算物体运动的位移。

（2）加速度变化的变加速直线运动的v-t图像为曲线，与坐标轴所围面积大于或小于同时间内匀变速直线运动图像与坐标轴所围面积。

对点演练1：有一质点，在t=0开始从原点由静止出发，沿x轴运动，其v-t图像如图所示，则（B）。

A.t=0.5s时离原点最远

B.t=1s时离原点最远

C.t=1s时回到原点

D.t=2s时离原点最远

解析：由图可知，0至1s时，质点一直沿x轴负方向运动，故离原点的距离一直增大，1s时质点距原点最远，A、C错误，B正确；1s至2s时，质点从最远处向原点靠近，由图形面积可知，2s时质点返回原点，D错误。

探究点二：对匀变速直线运动位移与时间关系式的理解

1. 导学探究

两辆汽车，甲车正在向左匀减速行驶，乙车正在向右匀加速行驶。

（1）它们都可以应用公式x=v₀t+at²/2计算位移吗？

（2）计算它们的位移属于矢量运算，解题时如何规定正方向呢？

提示：（1）都可以。（2）一般以初速度的方向为正方向。

2. 知识归纳

（1）对位移公式x=v₀t+at²/2的理解：

①公式的物理意义：反映了位移随时间的变化规律。

②公式的矢量性：公式中x、v₀、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。若选v₀方向为正方向：物体加速，a取正值；物体减速，a取负值；若位移为正值，位移的方向与正方向相同；若位移为负值，位移的方向与正方向相反。

（2）位移公式的应用：

①适用范围：匀变速直线运动。

②用途：公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。

③应用步骤：确定一个方向为正方向（一般以初速度的方向为正方向）；根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示；根据位移时间关系式或其变形式列式、求解；根据计算结果说明所求量的大小、方向。

（3）两种特殊形式：当a=0时，x=v₀t（匀速直线运动）；当v₀=0时，x=at²/2（由静止开始的匀加速直线运动）。

特别提示：

（1）公式x=v₀t+at²/2是匀变速直线运动的位移公式，而不是路程公式，利用该公式计算出的物理量是位移而不是路程。

（2）位移与时间的二次方不是正比关系，时间越长，位移不一定越大。

（3）如果知道匀变速直线运动一段时间t的初速度和末速度，可由公式x=(v₀+v)t/2直接计算物体运动的位移。

3. 典例剖析

【例题2】司机发现正前方30m处人行横道上有行人过马路，马上开始刹车，刹车过程汽车做匀减速直线运动，其位移x与时间t的数值关系为x=10t-t²（位移单位为m，时间单位为s）。若取汽车初速度的方向为正方向，关于该汽车的运动，下列说法正确的是（C）。

A.汽车的加速度大小为1m/s²

B.汽车在3s末的速度为6m/s

C.汽车在前6s内的位移为25m

D.汽车在第3s内的平均速度为7m/s

解析：根据匀变速直线运动位移与时间的关系x=v₀t+at²/2，结合x=10t-t²，可知v₀=10m/s，a=-2m/s²，A错误；汽车在3s末的速度v₃=v₀+at₃=10-2×3=4m/s，B错误；汽车运动停止的时间t₀=(0-v₀)/a=10/2s=5s，在前6s内的位移等于5s内的位移，即x=v₀t₀+at₀²/2=25m，C正确；汽车在2s末的速度v₂=v₀+at₂=10-2×2=6m/s，第3s内的位移x₃=v₂t+at²/2=(6×1-1/2×2×1²)m=5m，则第3s内的平均速度v=x₃/t=5m/s，D错误。

方法技巧：“刹车类”问题的处理方法：

（1）刹车类问题一般视为匀减速直线运动，汽车停下后不能做反向的运动。

（2）处理该类问题时，首先要判断刹车后经多长时间速度变为零（即刹车时间）。若所给时间t>t₀，则v=0，x=v₀t₀+at₀²/2或x=-v₀²/(2a)；若所给时间t

两类匀减速直线运动问题的对比：

①刹车类（v₀→v=0）：可采用逆向思维法，看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。

②往返类（双向可逆类，v₀→v=0→反向，a不变）：对全程列式，注意x、v、a等矢量的正负号；或分段列式，先对匀减速阶段求解，后对反向的匀加速阶段求解。

对点演练2：汽车紧急刹车，会在路面上留下刹车痕迹，某次汽车紧急刹车后测得的刹车痕迹长为36m，假设制动后汽车做加速度大小恒为8m/s²的匀减速直线运动直到停止。则关于该汽车的运动，下列说法正确的是（A）。

A.刚刹车时，汽车的初速度大小为24m/s

B.刹车后第1s末的速度大小为15m/s

C.刹车后，汽车做减速运动的最后1s内的位移大小为3m

D.刹车后4s内的位移大小为32m

解析：根据逆向思维可知刹车位移x=at²/2，v₀=at，结合题意代入数据可得t=3s，v₀=24m/s，A正确；刹车后第1s末汽车的速度v₁=v₀+at₁=24-8×1=16m/s，B错误；根据逆向思维可知，最后1s内的位移x'=at²/2=1/2×8×1²m=4m，C错误；汽车刹车到停止运动所需时间为3s，故刹车后4s内的位移大小等于36m，D错误。

探究点三：对匀变速直线运动速度与位移关系式的理解

1. 导学探究

在交通事故中，交警为了了解汽车开始刹车时的车速，判断汽车是否超速，只要知道刹车时的加速度大小，再测出刹车痕迹长度即可。思考交警依据什么物理规律计算汽车开始刹车时的车速。

提示：依据速度与位移的关系式v²-v₀²=2ax。汽车刹车过程可看作匀减速直线运动，末速度v=0，测出刹车痕迹长度x和加速度大小a，即可由v₀²=2ax求出初速度。

2. 知识归纳

速度与位移关系式v²-v₀²=2ax的理解：

公式意义：反映了速度、加速度、位移之间的关系。

矢量性：其中的x、v、v₀、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v₀的方向为正方向。若物体做匀加（或减）速直线运动，a取正（或负）值；若位移与正方向相同（或相反），则取正（或负）值。

特点：该式不涉及时间，研究的问题中若不涉及时间，利用该式求解更加方便。

两种特殊形式：①当v₀=0时，v²=2ax（初速度为零的匀加速直线运动）；②当v=0时，-v₀²=2ax（末速度为零的匀减速直线运动，例如刹车问题）。

3. 典例剖析

【例题3】滑跃式起飞是航母舰载机的一种起飞方式。飞机跑道的前一部分是水平的，跑道尾段略微向上翘起。如图所示为滑跃式起飞跑道的简化模型，AB段水平，BC段倾斜。假设某飞机滑跃式起飞过程是由静止开始的两段连续匀加速直线运动，经过B点时速度大小不变。前一段AB内的加速度为a₁，AB长度为x₁，后一段BC内的加速度为a₂，BC长度为x₂。则飞机离舰时的速度为（C）。

A.a₁x₁；B.a₂x₂；C.√(2a₁x₁+2a₂x₂)；D.2a₁x₁-2a₂x₂。

解析：飞机在水平跑道上运动时，由速度—位移公式得v_B²=2a₁x₁；飞机在倾斜跑道上运动时，由速度—位移公式得v_C²-v_B²=2a₂x₂；联立解得飞机离舰时的速度v_C=√(2a₁x₁+2a₂x₂)，故选C。

方法技巧：解题时巧选公式的基本方法——

题目中无位移x，也不需求位移：优先选用速度公式v=v₀+at。

题目中无末速度v，也不需求末速度：优先选用位移公式x=v₀t+at²/2。

题目中无运动时间t，也不需要求运动时间：优先选用导出公式v²-v₀²=2ax。

题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题：优先选用平均速度公式v̄=x/t=(v₀+v)/2。

对点演练3：冰壶被投掷出去且队员不摩擦冰面时可认为冰壶做匀减速直线运动，若冰壶以1.6m/s的速度被掷出时，在冰面上滑行了8m，则冰壶以3.2m/s的速度被掷出时，在冰面上滑行的距离为（D）。

A.8m；B.16m；C.24m；D.32m。

解析：设冰壶在冰面上的加速度为a，则有0-v₁²=2ax₁，0-v₂²=2ax₂，解得x₂=(v₂²/v₁²)x₁=(3.2²/1.6²)×8m=32m，故选D。

（四）学以致用——随堂检测全达标

1.（匀变速直线运动位移与时间关系式的应用）动车进站时做匀减速直线运动，一旅客在站台12号车厢候车线处候车。他发现从第8号车厢的厢门（每节车厢的厢门都设在车厢最前端）经过他开始计时，8s后动车停下时12号车厢门刚好在他面前。已知每节车厢的长度均为24m，忽略车厢间连接部分的长度，则该动车减速时的加速度大小约为（C）。

A.1m/s²；B.2m/s²；C.3m/s²；D.4m/s²。

解析：动车做减速运动，末速度为零，则由逆向思维可将该过程看作初速度为零的反向的匀加速运动，位移为4节车厢长度即96m，根据x=at²/2，解得a=2x/t²=2×96/8²m/s²=3m/s²，故选C。

2.（匀变速直线运动速度与位移关系式的应用）一辆汽车以20m/s的速度在平直公路上匀速行驶，前方出现紧急情况需立即刹车。若汽车刹车的加速度大小恒为4m/s²，不计司机反应时间，则汽车的刹车距离为（B）。

A.60m；B.50m；C.48m；D.20m。

解析：根据题意，由运动学公式v²-v₀²=2ax可得，汽车的刹车距离x=-v₀²/(2a)=-20²/[2×(-4)]m=50m，故选B。

3.（用v-t图像求位移）某学校运动会100m跑比赛时，记录了甲、乙两运动员起跑阶段的v-t图像分别如图中a、b所示（从发令枪响开始计时），下列关于两者运动情况的判断错误的是（C）。

A.甲存在抢跑现象

B.甲的速度变化比乙慢

C.t₁时刻起乙开始超过甲

D.t₁时刻两运动员的速度相等

解析：由图线a可知发令枪响时甲已经有了速度，故甲存在抢跑现象，A正确，不符合题意；v-t图像的斜率表示加速度，由图知甲的加速度比乙的小，因此甲的速度变化比乙慢，B正确，不符合题意；0~t₁时间内a图线与坐标轴所围的面积比b图线与坐标轴所围的面积大，表示该段时间内甲的位移比乙的大，即甲跑在前面，C错误，符合题意；t₁时刻两图线相交，则两运动员的速度相等，D正确，不符合题意。

4.（匀变速直线运动位移与时间关系式的应用）某汽车在路面上刹车做直线运动，刹车后的位移满足x=6t-t²，其中x的单位为m，t的单位为s，以下说法正确的是（D）。

A.该汽车刹车的初速度大小为12m/s

B.刹车的加速度大小为1m/s²

C.该车经过6s刹车停止

D.刹车后的总位移是9m

解析：由x=v₀t+at²/2可知，该汽车刹车的初速度v₀=6m/s，加速度a=-2m/s²，A、B错误；由v=v₀+at可得，刹车时间t=(0-v₀)/a=6/(-2)s=3s，C错误；刹车后的总位移x=(6×3-3²)m=9m，D正确。

四、课堂小结

本节课学习了匀变速直线运动的位移与时间的关系。位移公式x=v₀t+at²/2可由v-t图像中图线与时间轴包围的面积（梯形面积）结合“无限分割”的极限思想推导得出。速度与位移的关系式v²-v₀²=2ax由速度公式和位移公式消去时间t得到，在不涉及时间的问题中应用更为方便。应用公式时要注意矢量性，一般取初速度方向为正方向。处理刹车问题时，要先判断刹车时间，避免出现“速度减为零后继续反向运动”的错误。用v-t图像求位移时，图线与t轴上方围成的面积取正值，下方围成的面积取负值。

五、作业布置

1. 完成课后随堂检测相关习题。

2. 整理匀变速直线运动的位移公式和速度与位移关系式的推导过程及应用步骤。

3. 思考：已知匀变速直线运动中某段时间的初速度v₀和末速度v，如何求这段时间中间时刻的瞬时速度？如何求这段位移中点位置的瞬时速度？二者大小关系如何？（为下一节匀变速直线运动推论的学习作准备）

六、教学反思（供教师使用）

本节是匀变速直线运动规律的核心内容之一，位移公式的推导是本节的难点，教学时应充分利用v-t图像和“无限分割”的思想，让学生体会极限思想在物理中的应用。速度与位移关系式的推导可采用消元法，帮助学生理解公式间的联系。例题教学中要引导学生根据题目条件灵活选用公式，特别是“刹车类”问题要先判断刹车时间，这是学生容易出错的地方，应通过对比练习加以强化。

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