力的合成和分解

《力的合成和分解》教案

一、教学目标

1. 物理观念：通过实验了解力的合成，知道合力、分力、力的合成、力的分解的概念，从等效的角度理解合力与分力的关系；知道矢量和标量，理解平行四边形定则是一切矢量合成和分解的普遍法则。

2. 科学思维：会进行力的合成和力的分解，会用图解法求分力，用直角三角形的知识求分力；能分析力的分解的多解问题。

3. 科学态度与责任：通过天鹅、大虾和梭鱼拉车、两人提水等生活实例，体会力的合成与分解在生活生产中的应用，培养将实际问题转化为物理模型的意识。

二、教学重点与难点

重点：合力与分力的概念及等效替代关系；平行四边形定则；力的合成与分解的方法（作图法、计算法）。

难点：合力与分力的大小关系（合力不一定大于分力）；力的分解的多解问题讨论；多个共点力合力范围的确定。

三、教学过程

（一）导入新课

通过展示儿童滑滑梯、志愿者提水桶等生活图片，引导学生思考：两个小孩共同提起一桶水与一个大人单独提起同一桶水，作用效果是否相同？引出合力与分力的研究课题。结合情境链接：俄国寓言故事《天鹅、大虾和梭鱼》中，它们用力方向不一致，大车受到它们的合力小于受到的摩擦力或为零，所以拉不动大车。

（二）基础落实——必备知识全过关

1. 合力与分力

（1）合力：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力。

（2）分力：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力。

（3）合力与分力的关系：等效替代关系。

2. 力的合成和分解

（1）力的合成：求几个力的合力的过程。

（2）力的分解：求一个力的分力的过程。

（3）力的合成和分解遵循的法则——平行四边形定则（所有矢量的合成、分解都遵循的规律）：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。多个力的合成方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。

（4）力的分解方法：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则。

（5）力的分解依据：一个力可以分解为两个力，如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。因此，要根据具体问题的需要来确定怎样分解力。

3. 矢量与标量

（1）矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量叫作矢量。

（2）标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量叫作标量。

要点提示：有方向的物理量不一定是矢量，如电流。

4. 教材拓展

阅读教材第72页合力和分力，思考：大扫除时，一个男生可以提起一桶水，两名瘦弱的女生合作能提起同一桶水。那么该男生用的力与两个女生用的力的作用效果是否相同？二者能否等效替代？两个女生共提一桶水时，要想省力，两个人拉力间的夹角应大些还是小些？为什么？

提示：男生用的力与两个女生用的力的作用效果相同，可以等效替代。提水时两个女生对水桶拉力的合力的大小等于一桶水所受的重力大小，合力不变时，两分力的大小随着两个力之间夹角的减小而减小，因此夹角越小越省力。

5. 易错辨析

（1）两个力的合力一定大于任一个分力。（错误）合力与分力是等效替代的关系，合力的大小在两个分力之差与两个分力之和之间，合力不一定大于任意一个分力，也可能小于其中任意一个分力。

（2）把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同。（正确）

（3）力的合成和力的分解都遵循平行四边形定则。（正确）

（三）重难探究——能力素养全提升

探究点一：对合力与分力的理解

1. 导学探究

1654年在德国马德堡市，做了著名的马德堡半球实验，各用八匹马组成的两支马队将半球拉开。如果用两头大象来代替两支马队，这两个半球也能被拉开。一头大象的拉力与八匹马的拉力可以相互替代吗？替代的前提是什么？

提示：可以相互替代。前提是“等效”，即一个力与另外几个力的作用效果相同。

2. 知识归纳

合力与分力的关系：

等效性：合力的作用效果与分力的共同作用效果相同。

替代性：力的合成中，一个合力替代多个分力；力的分解中，两个或多个分力替代一个合力。

假想性：力的合成中，合力是假想的；力的分解中，分力是假想的。

3. 典例剖析

【例题1】（多选）关于几个力与其合力的说法正确的是（A、C）。

A.合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同

B.合力与原来那几个力同时作用在物体上

C.合力的作用可以替代原来那几个力的作用

D.不同性质的力不可以合成

解析：由合力和分力的定义可知，A正确；合力和分力是等效替代关系，而不是物体同时受到合力和分力，它们不能同时存在，B错误，C正确；力能否合成与力的性质无关，D错误。

方法技巧：理解合力与分力的关系时，要牢牢抓住“等效”这一点；物体不同时受分力与合力，受力分析时，不要多出一个“合力”。

对点演练1：关于F₁、F₂及它们的合力F，下列说法正确的是（B）。

A.两力F₁、F₂一定是同种性质的力

B.两力F₁、F₂一定是同一个物体受到的力

C.两力F₁、F₂与F是物体同时受到的三个力

D.合力F一定等于F₁、F₂大小之和

解析：只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成，合力是原来几个分力的等效替代，分力可以是不同性质的力，分析物体的受力时，合力与分力不能同时存在，合力F与分力效果相同，不一定等于两分力大小之和，所以选项B正确。

探究点二：力的合成

1. 导学探究

两人同拉一辆车，每人都用100N的力拉，车受到的拉力一定是200N吗？

提示：不一定。两个力的合力并非等于两个力大小之和，应根据平行四边形定则，用作图或者计算的方法求得合力。

2. 知识归纳

（1）平行四边形定则的推广：两分力分别为F₁与F₂、合力为F的平行四边形，可演变为三角形定则合成图，即将两分力F₁、F₂首尾相接，则合力F就是由F₁的始端指向F₂的末端的有向线段所表示的力。当三个力合成时，可依次合成。

（2）力合成的方法：

①作图法：根据平行四边形（或三角形）定则用作图工具作出平行四边形（或三角形），然后用测量工具测量出合力的大小、方向。具体操作流程：选标度→作F₁、F₂的图示→作平行四边形（或三角形）→用刻度尺量合力的图示的长度→计算合力大小；用量角器量F与F₁夹角→得出合力方向。

②计算法：根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。常见情况：两分力相互垂直时，F=√(F₁²+F₂²)，tanθ=F₁/F₂；两分力等大、夹角为θ时，F=2F₁cos(θ/2)，方向沿角平分线（当θ=120°时，F₁=F₂=F）；两分力分别为F₁、F₂、夹角为θ时，根据余弦定理F=√(F₁²+F₂²+2F₁F₂cosθ)，合力方向与F₁方向的夹角正弦值为sinα=F₂sinθ/F。

（3）合力与分力的大小关系：

合力最大值：F₁、F₂同向，F_max=F₁+F₂。

合力最小值：F₁、F₂反向，F_min=|F₁-F₂|。

合力范围：|F₁-F₂|≤F≤F₁+F₂。

说明：①夹角θ越大，合力就越小；②合力可能大于、小于或等于某一分力。

（4）多个力的合成技巧：优先将共线的分力合成；优先将相互垂直的分力合成；两分力大小相等且夹角为120°时，合力大小等于分力大小，方向沿它们夹角的角平分线方向；结合有关的几何推论。

特别提示：力是矢量，两个力的合成不是简单的相加，它遵循平行四边形定则，故合力大小不仅取决于两分力的大小，也取决于两分力的方向。

3. 典例剖析

【例题2】水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重为100N的重物，∠CBA=30°。则滑轮受到轻绳的作用力的大小为（A）。

A.100N；B.86.6N；C.50N；D.20N。

解析：轻绳跨过滑轮，则轻绳BC段、BD段拉力相等，F₁=F₂=mg=100N，夹角为120°，根据平行四边形定则，由于F₁=F₂，所以平行四边形为菱形，两力夹角为120°，所以F₁、F₂的合力F=F₁=F₂=100N，即绳子对滑轮的作用力大小为100N，故A正确。

方法技巧：计算法求合力常用的几何知识——应用直角三角形中的边角关系求解，用于平行四边形的两边垂直或平行四边形的对角线垂直的情况；应用等边三角形的特点求解；应用相似三角形的知识求解，用于力的矢量三角形与实际三角形相似的情况。

【例题3】同一平面内的三个力，大小分别为3N、8N、12N，方向未确定。若这三个力同时作用在某一物体上，则该物体所受这三个力的合力不可能为（A）。

A.0.99N；B.1.99N；C.9.99N；D.19.99N。

解析：三个共点力方向相同时，合力最大，所以最大值为3N+8N+12N=23N；3N、8N合力范围是5N≤F≤11N，则3N、8N、12N最小值为1N，即合力范围是1N≤F_合≤23N，故A正确。

方法技巧：三个共点力的合力范围——最大值：当三个力同向共线时，合力最大，为三者之和；最小值：①当最大的一个分力小于等于另外两个分力的算术和时，其合力最小值为零；②当最大的一个分力大于另外两个分力的算术和时，其合力最小值等于最大的一个分力减去另外两个分力的算术和的值。

对点演练2：三个共点力F₁=1N、F₂=3N、F₃=5N的合力大小不可能是（A）。

A.0；B.1N；C.6N；D.9N。

解析：此三个力合力的最大值为F_合max=(1+3+5)N=9N，最小值为F_合min=(5-1-3)N=1N，可知0不在此范围内，故选A。

探究点三：力的分解

1. 导学探究

取一根细线，将细线的一端系在左手中指上，另一端系上一个重物。用一支铅笔的一端顶在细线上的某一点，使铅笔保持水平，铅笔的另一端置于手掌心，细线的下段竖直向下。请做一做，说出你的感觉，并思考重物竖直向下拉细线的力产生什么作用效果？

提示：手指被拉、掌心被压的感觉。重物竖直向下拉细线的力会产生两个效果：沿着上边斜线方向斜向下拉紧细线，沿着铅笔方向向左压紧铅笔。

2. 知识归纳

（1）对力的分解的理解：在力的分解中，合力是实际存在的，分力是虚拟的，并不存在；一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个。

（2）力分解时有、无解的讨论（力分解时，有解就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段能构成平行四边形或三角形）：

①已知合力、两个分力的方向，有一组解。

②已知合力、两个分力的大小（同一平面内），无解或有两组解。

③已知合力、一个分力的大小和方向，有一组解。

④已知合力以及合力的一个分力的大小和另一个分力的方向：当F₁=Fsinθ时，有一组解；当F₁

（3）力分解的两条思路：按力的实际作用效果或解决问题需要分解——根据解决问题需要确定分力的方向，根据平行四边形定则作出力的平行四边形，把力的计算转化为边、角的计算，数学计算（求分力）。

3. 典例剖析

【例题4】（多选）已知两个共点力的合力为50N，分力F₁的方向与合力F的方向成30°角，分力F₂的大小为30N。则（B、D）。

A.F₁的大小是唯一的；B.F₁有两个可能的值；C.F₂的方向是唯一的；D.F₂有两个可能的方向。

解析：当F₂与F₁垂直时，F₂最小值为Fsin30°=25N；由于F₂=30N>Fsin30°=25N，故由力的矢量三角形定则可知，F₁可有两个值，F₂有两个可能的方向，如图所示，故B、D正确。

教你析题：已知合力F=50N、分力F₁方向确定大小待定、分力F₂=30N方向待定。

教你破题：获取题干信息→转化为数学问题（表示分力F₁、F₂与合力F的有向线段能否构成三角形，构成几个三角形）→选择合适规律和方法（三角形定则、作图法）→分析判断求解。

方法技巧：对于力分解的多解问题，当合力与分力不共线时，根据三角形定则知，此时力的分解是有解还是无解、有几个解的问题可以转化为能否作出力的三角形、能作几个力的三角形的数学问题；合力一定，其中一个分力的方向一定，当两个分力垂直时，另一个分力最小。

对点演练3：唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力。设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，α<β，忽略耕索的质量。在耕地过程中，下列说法正确的是（c）。<>

A.曲辕犁减速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力

B.直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力

C.耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的小

D.耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的小

解析：无论曲辕犁和直辕犁怎样前进，耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力都是相互作用力，等大反向，A、B错误；耕索对曲辕犁拉力的水平分力F'=Fsinα，耕索对直辕犁拉力的水平分力F''=Fsinβ，因为α<β，所以耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的小，c正确；耕索对曲辕犁拉力的竖直分力f₁'=fcosα，耕索对直辕犁拉力的竖直分力f₂'=fcosβ，因为α<β，所以耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大，d错误。<>

（四）学以致用——随堂检测全达标

1.（合力与分力的关系）关于两个大小不变的共点力F₁、F₂与其合力F的关系，下列说法正确的是（B）。

A.F大小随F₁、F₂间夹角的增大而增大

B.F大小随F₁、F₂间夹角的增大而减小

C.F大小一定比任何一个合力都大

D.F大小不能小于F₁、F₂中最小者

解析：合力随两分力间夹角的增大而减小，合力大小的范围为|F₁-F₂|≤F≤F₁+F₂。例如，当F₁=5N、F₂=6N时，1N≤F≤11N，F可比F₁、F₂中的最小者小，也可以比F₁、F₂中的最大者大，故只有选项B正确。

2.（力的合成）两个大小相等的共点力F₁、F₂，当它们间的夹角为120°时，合力大小为10N；则当它们间夹角为60°时，合力的大小为（D）。

A.20N；B.5√3N；C.10√2N；D.10√3N。

解析：两个大小相等的共点力F₁、F₂，当它们间的夹角为120°时合力大小为10N；由几何知识可知F₁=F₂=10N，当它们间夹角为60°时，合力的大小为F=2F₁cos30°=10√3N，故D正确。

3.（多个共点力的合成）下列作用在同一物体上的三个力的合力可能为0的是（B）。

A.3N、5N、10N；B.4N、6N、8N；C.12N、7N、4N；D.1N、3N、5N。

解析：由合力的范围|F₁-F₂|≤F_合≤F₁+F₂可知，3N、5N的合力范围是2~8N，10N不在合力范围之内，所以三个力的合力不可能是0，A错误；4N、6N的合力范围是2~10N，8N在合力范围之内，所以三个力的合力可能是0，B正确；4N、7N的合力范围是3~11N，12N不在合力范围之内，C错误；1N、3N的合力范围是2~4N，5N不在合力范围之内，D错误。

4.（力的分解）（多选）传统手工榨油利用“油锤”撞击“进桩”挤压油饼出油，假设“进桩”为等腰三角形木楔，简化模型如图所示，木楔的顶角为θ，现在木楔右端施加力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力F_N，则（A、C）。

A.若F一定，θ越小F_N越大

B.若F一定，θ越大F_N越大

C.若θ一定，F越大F_N越大

D.若θ一定，F越小F_N越大

解析：选木楔为研究对象，木楔受到的力有水平向左的力F和两侧给它的与木楔斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以两侧给它的与木楔斜面垂直的弹力与F沿两侧分解的分力是大小相等的。根据题意有F₁=F₂=F_N，所以F=F₁cos(90°-θ/2)+F₂cos(90°-θ/2)=2F₁sin(θ/2)，F₁=F/(2sin(θ/2))。由公式可知，当F一定时，θ越小F_N越大；当θ一定时，F越大F_N越大。选项A、C正确。

四、课堂小结

本节课学习了力的合成和分解。合力与分力是等效替代关系，合力与分力不能同时存在。力的合成和分解都遵循平行四边形定则，也可用三角形定则。合力的大小范围是|F₁-F₂|≤F≤F₁+F₂，合力可能大于、小于或等于某一分力。力的合成可用作图法和计算法，计算法常用直角三角形的边角关系、等边三角形特点和相似三角形知识。力的分解是力的合成的逆运算，一个力在没有限制时可分解为无数对分力；根据已知条件的不同，力的分解可能有一组解、两组解或无解。多个力的合成可优先将共线或相互垂直的分力合成。

五、作业布置

1. 完成课后随堂检测相关习题。

2. 整理力的合成与分解的方法对比表（作图法、计算法、常见情况）。

3. 思考：三个共点力F₁=3N、F₂=4N、F₃=5N的合力范围是多少？请说明理由。

六、教学反思（供教师使用）

本节是矢量运算的入门课，学生首次接触平行四边形定则，教学中应通过实验和实例帮助学生理解合力与分力的等效替代关系。合力与分力的大小关系是学生容易出错的地方，应强调合力不一定大于分力。力的分解的多解问题是本节难点，可借助三角形定则和动态作图帮助学生分析。教学中可让学生动手作图，体会平行四边形定则的几何意义，培养数形结合的思想。

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