实验探究弹簧弹力与形变量的关系

《实验：探究弹簧弹力与形变量的关系》教案

一、教学目标

1. 科学探究：知道科学探究的过程，探究弹力与弹簧伸长量之间的关系；学会利用列表法、图像法、函数法处理实验数据。

2. 科学思维：能根据F-x、F-l图像求出弹簧的劲度系数；理解F-x图像与F-l图像的区别与联系。

3. 科学态度与责任：通过实验操作和误差分析，养成严谨细致的实验习惯，体会图像法处理实验数据的优势。

二、教学重点与难点

重点：实验原理与步骤；弹簧弹力与伸长量关系的探究；F-x图像和F-l图像的分析与劲度系数的求解。

难点：区分弹簧原长、实际总长和伸长量；理解F-l图像横截距的物理意义；实验误差分析与注意事项。

三、教学过程

（一）导入新课

通过展示儿童在游乐场滑滑梯、志愿者提水桶等生活图片，引导学生回顾上节课学习的弹力知识，提出：弹簧的弹力与形变量之间是否存在定量关系？如何通过实验探究这一关系？引出本节课的实验课题。

（二）基础落实——必备知识全过关

1. 实验原理

（1）在弹簧下端悬挂钩码时弹簧会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码受到的重力大小相等。弹簧的原长与挂上钩码后弹簧的长度可以用刻度尺测出，其伸长量x可以用挂上钩码后弹簧的长度减去弹簧的原长来求得。

（2）作出弹簧弹力F与弹簧伸长量x的关系图像，根据图像可以分析弹簧弹力和弹簧形变量的关系。

2. 实验器材

铁架台、刻度尺、轻弹簧、钩码（一盒）、三角板、铅笔、坐标纸等。

3. 实验步骤（测原长、测弹力、测长度、重复测）

（1）将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自由下垂时的长度l₀，即原长。

（2）在弹簧下端挂质量为m₁的钩码，测出钩码静止时弹簧的长度l₁，记录m₁和l₁。

（3）改变所挂钩码的质量，重复步骤2，记录m₂、m₃、m₄、m₅……和相应的弹簧长度l₂、l₃、l₄、l₅……

（4）计算出每次弹簧的伸长量x（x=l-l₀）和弹簧受到的拉力F（F=mg），并将数据填入表格。

4. 数据处理

（1）建立直角坐标系，以弹簧的弹力F为纵轴、弹簧的伸长量x为横轴，根据测量数据在坐标纸上描点，作出图像。

（2）以弹簧的伸长量为自变量，写出图像所代表的函数。首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数。

（3）得出弹簧弹力与弹簧伸长量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义。这个常数也可根据图线的斜率求解，即k=ΔF/Δx。

5. 易错辨析

（1）探究弹簧弹力与形变量的关系的实验要研究的是弹簧的弹力与弹簧长度的关系。（错误）本实验研究的是弹簧的弹力与弹簧伸长量的关系。

（2）实验中每次实验，重物静止时所挂重物的重力与弹簧的弹力大小相等。（正确）

（3）弹簧的伸长量等于弹簧的长度与弹簧原长之差。（正确）

（三）重难探究——能力素养全提升

探究点一：数据处理

1. 知识归纳

（1）作图：以弹簧受到的弹力F为纵轴，弹簧伸长的长度x为横轴，根据测得的数据在坐标纸上描点，作一条平滑的曲线（包括直线）。根据图线可知，弹簧发生弹性形变时，弹力F的大小跟弹簧的伸长量x成正比。

（2）劲度系数：以弹簧的伸长量为自变量，写出弹力和弹簧伸长量之间的函数关系，则有F=kx，其中常数k为弹簧的劲度系数，大小等于F-x图像的斜率，即k=ΔF/Δx。

特别提示：弹簧形变过大，超过弹簧的弹性限度后，弹力和伸长量不再成正比。此时F-x图像上端会变成曲线。

2. 典例剖析

【例题1】某同学用如图甲所示的装置做探究弹力和弹簧伸长量的关系的实验。他先测出不挂钩码时弹簧下端指针所指刻度尺的刻度，然后在弹簧下端挂上钩码，并逐个增加钩码，分别测出钩码静止时指针所指刻度尺的刻度，所得数据列表如下（g取10m/s²）：

（1）根据所测数据，在图乙所示坐标纸上画出弹簧指针所指刻度尺的刻度l与钩码质量m的关系图线。

（2）根据l-m图线可计算出，该弹簧的劲度系数为58.3N/m（结果保留3位有效数字）。

解析：（1）描点作图，如解析图所示（图线为一条不过原点的倾斜直线）。（2）由胡克定律F=kx，F=mg，x=l-l₀，l₀为弹簧原长，可知k=ΔF/Δx=Δmg/Δl=7/(0.237-0.117)N/m=58.3N/m。

方法技巧：实验数据处理的三种方法——

（1）图像法：①根据测量数据，画弹力F与弹簧伸长量x的关系图像（F-x图像），图像应为过原点的一条直线，其斜率表示弹簧的劲度系数；②根据测量数据，画弹力F与弹簧长度l的关系图像（F-l图像），由于F=k(l-l₀)，所以图像应为一条不过原点的直线，其斜率表示弹簧的劲度系数，横截距表示弹簧的原长。

（2）列表法：将实验数据填入表中，研究测量的数据，可发现在实验误差允许的范围内，弹力与弹簧伸长量的比值是一常数。

（3）函数法：根据实验数据，找出弹力与弹簧伸长量的函数关系。

对点演练1：如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码，做探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系的实验。

（1）实验中还需要的测量工具有刻度尺。

（2）如图乙所示，根据实验数据绘图，纵轴是钩码质量m，横轴是弹簧的形变量x。由图像可得结论：弹簧的劲度系数k=5.0N/m（计算结果保留2位有效数字，重力加速度g取10m/s²）。

解析：（1）实验中需要测量弹簧伸长的长度，故需要刻度尺。（2）由于F=kx=mg，则k=mg/x=20×10⁻³×10/(4×10⁻²)N/m=5.0N/m。

探究点二：误差分析和注意事项

1. 误差分析

（1）系统误差：

钩码标值不准确——检查并更换。

弹簧自身重力的影响——实验中应使用轻质弹簧。

（2）偶然误差：

弹簧拉力大小不稳定——弹簧一端固定，另一端悬挂钩码来充当对弹簧的拉力，待稳定后再读数。

弹簧长度测量不准——固定刻度尺，多测几次。

描点、作图不准——坐标轴的标度尽量大一些，描点时让尽可能多的点落在线上，其余点均匀分布于线的两侧。

2. 注意事项

（1）每次增减钩码测量有关长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于稳定状态时测量，刻度尺要保持竖直并靠近弹簧，以免增大读数误差。

（2）所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出其弹性限度。

（3）每次所挂钩码的质量差尽量大一些，从而使坐标上描的点尽可能稀一些，这样作出的图像更精确。

（4）描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应使各点均匀分布在直线的两侧。描出的线不应是折线，而应是光滑的曲线或直线。

（5）测量有关长度时，应区别弹簧原长l₀、实际总长l及伸长量x三者之间的不同，明确三者之间的关系。

（6）建立平面直角坐标系时，两轴上单位长度所代表的量值要适当，不可过大，也不可过小。

（7）记录数据时要注意弹力及弹簧形变量的对应关系及单位。

3. 典例剖析

【例题2】某同学做探究弹簧弹力与形变量的关系的实验时，设计了如图甲所示的实验装置，将待测弹簧的一端固定在铁架台上，然后将毫米刻度尺固定在弹簧一侧，并使弹簧另一端的指针恰好落在刻度尺上。他先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，然后在弹簧下端依次挂1、2、3、4、5个钩码，测出弹簧相应的总长度。每个钩码的质量都是10g。实验数据见下表（g取10N/kg）：

钩码质量m/g：0、10、20、30、40、50；弹簧总长度l/cm：3.00、3.50、4.00、4.50、5.00、5.50；弹力大小F/N：0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5。

（1）关于本实验，下列说法正确的是（A、B、C）。

A.悬挂钩码后，应在钩码静止后再读数

B.应在弹簧的弹性限度范围内进行测量

C.在安装刻度尺时，必须使刻度尺保持竖直状态

D.在测量弹簧原长时，应将弹簧平放在水平桌面上，使其自然伸长，并测出其长度

（2）根据上述实验数据，在图乙所示的坐标纸上，作出弹簧弹力大小F跟弹簧总长度l之间的关系图像，并求出该弹簧的劲度系数k=20N/m，原长l₀=3.00cm。

（3）某实验小组在探究弹簧弹力与形变量的关系的实验中，使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹簧弹力与弹簧长度之间关系的图像如图丙所示。下列表述正确的是（A、C）。

A.a的原长比b的短

B.a的劲度系数比b的小

C.a的劲度系数比b的大

D.测得的弹力与弹簧的长度成正比

解析：（1）悬挂钩码后，应在钩码静止后再读数；应在弹簧的弹性限度范围内进行测量；安装刻度尺时必须保持竖直状态。测量弹簧原长时，应将弹簧竖直悬挂后测量，故D错误。（2）根据表中数据描点连线，得到F-l图像。由于F=k(l-l₀)=kl-kl₀，所以F-l图线的斜率大小表示弹簧的劲度系数，解得k=20N/m。当F=0时，弹簧长度为原长，l₀=3.00cm。（3）在F-l图像中，当弹簧的弹力为零时，弹簧处于原长，故b的原长大于a的原长，A正确；斜率表示劲度系数，故a的劲度系数大于b的劲度系数，B错误，C正确；弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，故D错误。

方法技巧：两类弹簧弹力图像的比较——

（1）F-x图像应是过原点的直线，直线的斜率等于弹簧的劲度系数。

（2）F-l图像是不过原点的直线，其与横轴的截距等于弹簧的原长，斜率仍然等于弹簧的劲度系数。

对点演练2：某同学做探究弹簧弹力与形变量的关系的实验，实验装置如图所示，将待测弹簧的一端固定在铁架台上，然后将毫米刻度尺固定在弹簧的一侧，并使弹簧另一端的指针恰好落在刻度尺上。

（1）弹簧下端悬挂钩码，待钩码静止时，用钩码的重力大小表示弹簧的弹力大小。

（2）在实验过程中，弹簧始终在弹性限度内，弹簧质量可忽略不计。根据实验数据，在坐标纸上作出了如图所示的F-x图像，可得该弹簧的劲度系数k=50N/m。

解析：由胡克定律F=kx得，F-x图像的斜率表示弹簧的劲度系数，即k=ΔF/Δx=4.0/0.08N/m=50N/m。

（3）另一位同学用完全相同的另一根弹簧做上述实验时，误将弹簧的长度记为x，得到的F-x图像的斜率不变（选填“变大”“变小”或“不变”），横轴截距x是弹簧的原长。

解析：设弹簧的原长为x₀，则F=k(x-x₀)=kx-kx₀，则F-x图像的斜率仍为弹簧的劲度系数k，所以F-x图像的斜率不变。当F=0时，可得x=x₀，即横轴截距表示弹簧的原长。

（4）考虑到弹簧自身的重力，若把弹簧平放在桌面上使其自然伸长，测出原长后，再把弹簧竖直悬挂起来进行实验，据此测出的劲度系数k将会依然准确（选填“偏大”“偏小”或“依然准确”）。

解析：因为无论水平测量还是竖直测量弹簧的原长，实验时的弹簧形变量不受影响，所以据此测出的劲度系数k将依然准确。

（四）学以致用——随堂检测全达标

1.（F-x图像的理解）某同学利用如图甲所示的装置，选取了1、2两根不同的弹簧，探究弹簧的弹力F与伸长量x的关系。在实验过程中，弹簧始终在弹性限度内，弹簧质量可忽略不计，他在同一个坐标系内作出了F-x图像，如图乙所示。据此可知，弹簧1、2的劲度系数k₁和k₂的关系为（A）。

A.k₁>k₂；B.k₁

解析：F-x图像的斜率反映劲度系数的大小，因图线1的斜率较大，故k₁>k₂，A正确。

2.（实验注意事项）图甲是某同学做探究弹力和弹簧伸长量的关系的实验装置，根据记录的数据作出弹簧的伸长量Δl及其对应的弹力F的图像如图乙所示，下列说法正确的是（B）。

A.测量弹簧原长时应将弹簧水平放置

B.依次逐个增加钩码，等弹簧稳定后平视读数

C.该弹簧的劲度系数为0.2N/m

D.图像弯曲的原因是指针与刻度尺间有摩擦

解析：测量弹簧原长时应将弹簧竖直悬挂，因弹簧自身重力的作用会使弹簧有一定的伸长，故A错误；根据实验原理及读数规则，实验时应依次逐个增加钩码，等弹簧稳定后平视读数，故B正确；根据胡克定律知，直线段部分图线斜率的倒数等于该弹簧的劲度系数，即k=2.0N/(10×10⁻³m)=20N/m，故C错误；图像弯曲的原因是弹簧弹力超过其弹性限度，胡克定律不再成立，故D错误。

3.（数据处理）在探究弹簧弹力和伸长量的关系时，某同学把两根轻弹簧如图甲所示连接起来进行探究。

（1）某次测量如图乙所示，指针示数为16.00cm。

（2）在弹性限度内，将50g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、B的示数l_A和l_B如表所示。用表中数据计算弹簧Ⅰ的劲度系数为12.4N/m，弹簧Ⅱ的劲度系数为28.0N/m。（结果均保留3位有效数字，重力加速度g取10m/s²）

解析：（1）分度值为0.1cm，指针示数为16.00cm。（2）根据表格中的数据，由胡克定律有k₁=ΔF/Δx=(4-1)×0.5/(0.2776-0.1571)N/m=12.4N/m；结合A、B示数的变化，根据胡克定律能求出弹簧Ⅱ的劲度系数k₂=ΔF/Δx₂=(4-1)×0.5/[(0.4736-0.2996)-(0.2776-0.1571)]N/m=28.0N/m。

4.（数据处理）在探究弹力与弹簧伸长的关系的实验中。

（1）关于操作步骤先后顺序，下列说法正确的是（B）。

A.先测量弹簧原长，后将弹簧竖直悬挂

B.先将弹簧竖直悬挂，后测量弹簧原长

C.先后顺序对实验结果无影响

（2）作出甲、乙两弹簧的x-F图像如图所示，弹簧乙的劲度系数为200N/m。若要制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧甲（选填“甲”或“乙”）。

解析：（1）为了准确测量弹簧的原长，并消除重力带来的影响，应先将弹簧竖直悬挂，再测弹簧原长，故选B。（2）图像的斜率表示弹簧的劲度系数的倒数，则由图可知弹簧乙的劲度系数k=ΔF/Δx=(8-0)/(4×10⁻²-0)N/m=200N/m；由图可知，弹簧甲的劲度系数小，因此其精度高，若要制作一个精确度较高的弹簧测力计，应选弹簧甲。

四、课堂小结

本节课通过实验探究了弹簧弹力与形变量的关系。实验原理是弹簧平衡时弹力等于所挂钩码的重力，用刻度尺测出弹簧原长和挂不同钩码时的长度，求出伸长量，作出F-x图像。F-x图像是一条过原点的直线，斜率表示弹簧的劲度系数；F-l图像是一条不过原点的直线，横截距表示弹簧原长，斜率也表示劲度系数。数据处理可采用图像法、列表法和函数法。实验中要注意在弹簧竖直悬挂且稳定时测量，所挂钩码不要超过弹性限度，描点连线要光滑。误差分析要区分系统误差和偶然误差，采取有效措施减小误差。

五、作业布置

1. 完成课后随堂检测相关习题。

2. 整理实验报告，包括实验原理、器材、步骤、数据记录表、F-x图像及劲度系数计算结果。

3. 思考：如果用两根不同的弹簧串联或并联，它们的等效劲度系数与各自劲度系数有什么关系？请设计实验方案进行探究。

六、教学反思（供教师使用）

本实验是探究性实验，应注重让学生经历科学探究的过程，体会用图像法处理实验数据的方法。教学中要引导学生区分F-x图像与F-l图像，理解横截距的物理意义。实验操作中要强调弹簧竖直悬挂、稳定后读数、不超过弹性限度等注意事项。误差分析可结合具体数据展开讨论，帮助学生理解系统误差与偶然误差的区别。可让学生亲手描点作图，体会“让尽可能多的点落在直线上，其余点均匀分布在两侧”的作图原则。

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